Függvénysorok Függvénysorok konvergenciája Műveletek függvénysorokkal Hatványsorok A Taylor-sor Fourier-sorok chevron_right20. Parciális differenciálegyenletek 20. Bevezetés chevron_right20. Elsőrendű egyenletek Homogén lineáris parciális differenciálegyenletek Inhomogén, illetve kvázilineáris parciális differenciálegyenletek Cauchy-feladatok chevron_right20. Másodrendű egyenletek Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Cauchy-feladat parabolikus egyenletekre Hiperbolikus egyenletekre vonatkozó Cauchy-feladat Elliptikus peremérték feladatok chevron_right20. Vektoranalízis és integrálátalakító tételek A vektoranalízis elemei: gradiens, divergencia, rotáció és a nabla operátor A vonalintegrál fogalma és tulajdonságai A felület fogalma és a felületi integrál Integrálátalakító tételek chevron_right20. A hővezetési egyenlet és a hullámegyenlet Hővezetési egyenlet három dimenzióban Hővezetés egy dimenzióban Hullámegyenlet chevron_right21. Komplex függvénytan 21. Bevezető chevron_right21.
Feltétel: normális eloszlású(! ) független változók, s12 ≥ s 22 (sorszámozás kérdése…) Nullhipotézis: H 0: σ 12 = σ 22 vagy H 0: σ 12 ≥ σ 22 (harmadik nem lehet s12 ≥ s 22 miatt) Próba-statisztika: F = s12 s 22 Szabadsági fok: n1-1 a számlálóban, n2-1 a nevezőben Kritikus tartomány: { F: F ≥ F1− p} illetve { F: F ≥ F1− p} 2 A normalitás nagy mintaelemszám esetén is kell. Nemparaméteres próbák Ha az eddig megismert paraméteres próbák nem alkalmazhatóak, mert nem teljesülnek a feltételeik, akkor nemparaméteres próbákat kell alkalmazni. Ezek általában sokkal egyszerűbbek, mint a paraméteres próbák, sokkal megengedőbbek (feltételek), viszont jóval kisebb az erejük. A paraméteres és a nemparaméteres próbák összehasonlítása Nemparaméteres próbák Nagyjából függetlenek a változó eloszlásától. DE: azért nem minden eloszlásra, csak egy tágabb körre. Feltételeket ellenőrizni kell. Mediánok összehasonlítása. Gyakoriságok elemzésére alkalmas. Paraméteres próbák Feltételezik, hogy ismert a változó eloszlása: (leggyakrabban) normális, exponenciális, binomiális, stb.
A próbához mindkét változó értékkészletét osztályokba kell sorolni (nem feltétlenül ugyanannyi osztályba! ) és minden osztály-kombinációra (cellára) meghatározni az ún. várt gyakoriságot (eij) az alábbi képlettel: I J j =1 ( ∑ f ij)( ∑ f ij) eij = I J, ∑ ∑ f ij i =1 j =1 ahol I és J az egyik, illetve másik változó szerinti osztályok száma, fij pedig az i, j-edik cella mintabeli gyakorisága. 3... J-ik osztály 1 2... I-ik oszt. ez a (2, 3)-ik Feltételek: Akkora mintára van szükség, hogy az eij várt gyakoriságok ne legyenek 3nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb a cellák 20%-ában. Nullhipotézis: H0: a két vizsgált változó független egymástól Ellenhipotézis: H1: nem függetlenek I Próba-statisztika: χ 2 = ∑ ∑ ( f ij − eij)2, ahol fij a megfigyelt, eij a várt gyakoriság az eij i, j-edik cellában, I és J pedig az egyik, illetve a másik változó szerinti osztályok száma. i =1 j =1 Elutasítási tartomány: {χ 2:χ 2≥χ χ2-eloszlás megfelelő kritikus értéke. α}, ahol χ α2 az (I–1)(J–1) szabadsági fokú Ha nem független két változó, akkor hogyan tudjuk mérni a kapcsolat erősségét?
Irányított gráfok Az irányított gráfok tulajdonságai Gráfok irányításai Az újságíró paradoxona Hogyan szervezzünk körmérkőzéses bajnokságot? chevron_right24. Szállítási problémák modellezése gráfokkal Hálózati folyamok A maximális folyam problémája A maximális folyam problémájának néhány következménye: Menger tételei A maximális folyam problémájának néhány általánosítása Minimális költségű folyam – a híres szállítási probléma 24. Véletlen gráfok chevron_right24. Gráfok alkalmazásai A Prüfer-kód és a számozott pontú fák Kiút a labirintusból, avagy egy újabb gráfbejárás Euler-féle poliéderformula Térképek színezése chevron_right24. Gráfok és mátrixok Gráfok spektruma, a sajátérték-probléma, alkalmazás reguláris gráfokra chevron_right25. Kódelmélet chevron_right25. Bevezetés Huffman-kódok chevron_right25. Hibajavító kódok Egyszerű átalakítások Korlátok Aq (n, d)-re chevron_right25. Lineáris kódok Duális kód Hamming-kódok Golay-kódok Perfekt kódok BCH-kódok 25. Ciklikus kódok chevron_right26.
7. Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek) chevron_right4. Polinomok és komplex számok algebrája chevron_right4. Műveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó Műveletek polinomokkal, oszthatóság Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös chevron_right4. Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok Egész együtthatós polinomok felbontása Racionális együtthatós polinomok felbontása Valós együtthatós polinomok felbontása chevron_right4. Komplex számok Polinomok komplex zérushelyei Komplex együtthatós polinomok felbontása A körosztási polinom chevron_right4. Polinomok zérushelyei Valós együtthatós polinomok zérushelyei 4. Többváltozós polinomok chevron_right5. A sík elemi geometriája 5. A geometria rövid története chevron_right5. Geometriai alapfogalmak Pontok, egyenesek, szakaszok Szögek, szögpárok chevron_right5. Geometriai transzformációk Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Eltolás Középpontos hasonlóság Merőleges affinitás Inverzió chevron_right5.
(Lásd konfidencia-intervallum meghatározás…) Két valószínűség összehasonlítása "Származhat-e a két független minta adott tulajdonságra vonatkozóan azonos előfordulási valószínűségű populációból? " Nullhipotézis: H 0: p1 = p 2 Próbastatisztika: z = pˆ − pˆ 1 p (1 − p p p) 1 1 + n n 1, ahol p p = f1 + f 2 n1 + n2 Két valószínűség összehasonlítása homogenitás vizsgálatként, χ 2 -próbával is történhet. Egy változó varianciájára vonatkozó próba χ 2 -próba "Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli varianciája egy feltételezett σ 02 érték? " Feltétel: a vizsgált változó normális eloszlású. Nullhipotézis: H 0: σ 2 = σ 02 vagy H 0: σ 2 ≥ σ 02 vagy … ( n − 1)s 2 Próba-statisztika: χ = 2 2 Szabadsági fok: n-1 Kritikus tartomány: H 1: σ 2 ≠ σ 02 esetén χ 2: χ 2 ≤ χ 12+ p vagy χ 2 ≥ χ 12− p 2 2 H 1: σ 2 < σ 02 esetén χ 2: χ 2 ≤ χ 12+ p 2 Két változó varianciájának összehasonlítása F-próba (F-test) "Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók varianciája megegyezik a két populációban? "
Megoldás Több minta átlagának összehasonlítása Varianciaanalízis Több minta átlagának összehasonlítása Példa Minták Elemszám Átlag% Szórás% 1. 105 65, 19 16, 9 2. 50 62, 8 Összehasonlítandó minták adatai: Kérdés: Azonosak-e a minták átlagai? Minták Elemszám Átlag% Szórás% 1. 50 62, 8 17, 5 3. 65 68, 1 18, 2 4. 30 66, 2 15, 4 VARIANCIAANALÍZIS Megoldás A példában szereplő táblázatban nem a minta adatai találhatók, hanem az azokból számított adatok! A varianciaanalízis elvégzéséhez pedig a minta adatokra van szükségünk! Mit tehetünk! Válasz: Előállíthatunk olyan mintaadatokat, melyekből számított értékek a megadott értékeknek felelnek meg ez az első lépés Mintaadatok előállítása a példabeli értékeknek megfelelően EszközökAdatelemzésVéletlenszám - generátor Véletlenszám-generátor párbeszédablak Változók száma Véletlenszámok száma – azaz a minta elemszáma Eloszlás – mi csak a Normális eloszlással foglalkoztunk! Paraméterek – a kiválasztott eloszlástípusnak megfelelően jelennek meg a mezők (pl.
5§ 1 2. 5§ 6* 10 * § Egyenlő abszolút eltérést adó értékek (ties) esetén mindegyikük az összesen rájuk jutó rangok átlagát kapja (kapcsolt rangok, tied ranks). A pozitív eltérések rangösszege: T+ = 19. 5 Kritikus tartomány: K: {T+ ≤ Tkrit}. A null-eloszlást kis mintaelemszámokra kiszámolták, a kritikus értékeket táblázatba foglalták. (Csak akkor érvényes, ha nincsenek kapcsolt rangok! ) Nagyobb mintákra a null-eloszlás a µ = n(n + 1) n( n + 1)( 2n + 1), σ = paraméterű 4 24 normálissal közelíthető, a kritikus értékek ebből számolhatók. Mann-Whitney-féle U-teszt (vagy: Wilcoxon-féle rangösszeg-teszt) "Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változókra igaz a P(XY) egyenlőség (azaz ha mindkét változót megfigyeljük, azonos esély van arra, hogy az egyik, illetve a másik lesz nagyobb)? " Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők, varianciák megegyeznek); a két változóra két független mintánk van. Nullhipotézis: H 0: a változók eloszlása megegyezik, azaz az eltolás 0.
Ezzel a függvénnyel azt állapíthatjuk meg, hogy két minta szórásnégyzete különbözik-e egymástól. Segítségével például megállapíthatjuk, hogy az állami és a magániskolák tanulóinak tanulmányi eredményei szignifikánsan különböznek-e egymástól. Paraméterei: (tömb1;tömb2) Inverz. f Az F-eloszlás inverzének értékét számítja ki. F táblabeli érték Paraméterei: (valószínűség;szabadságfok1;szabadságfok2) Szabadságfok1: számláló szabadságfoka Szabadságfok2: nevező szabadságfoka óba Függetlenségvizsgálatot hajt végre. A ÓBA függvény a khi-négyzet (γ2) eloszláshoz rendelt értéket adja vissza a statisztika és a szabadságfokok érvényes száma szerint. A γ2 próba összehasonlítja a várható értéket a megfigyelt adatokkal. Paraméterei:(tényleges_tartomány;várható_tartomány) Megjegyzés Táblabeli értékeket az inverz. X (x: próba neve – t;khi;F) függvényekkel számoltathatjuk ki! 3. ANALYSIS TOOLPAK VBA Eszközök menü - Bővítménykezelő Eszközök - Adatelemzés Leíró statisztikák Példa: Adott egy osztály matematikából kapott eredménye.
A tér elemi geometriája 6. Alapfogalmak chevron_right6. Poliéderek chevron_rightSpeciális poliéderek Hasábok Gúlák, csonka gúlák chevron_right6. Görbe felületű testek Henger Kúp, csonka kúp Gömb 6. Henger és kúp síkmetszetei chevron_right7. Ábrázoló geometria chevron_right7. Bevezetés Jelölések, szerkesztések chevron_rightNéhány geometriai transzformáció, leképezés Néhány térbeli egybevágósági transzformáció Síknak síkra való affin transzformációi Tengelyes affinitások Általános affin transzformációk A párhuzamos vetítés és tulajdonságai chevron_right7.